الهدف الرئيسي من هذا العمل هو دراسة أنماط معينه من التقارب في فضاءات التبولوجيا. ادناه بعض النتائج الرئيسية التي تم الحصول عليها:
1. اذا كانت g دالة من الفضاء التبولوجي (X,τ)الى الفضاء التبوليجيY,μ)) و النقطةX xo فان g تكون :
i) δ - مستمرة عند xo اذا وفقط اذا عندما الشبكة –δ{fa : a A} تقترب الىxo فان الشبكة{g(fa) : a A } – δ تقترب الى (g(xo .
(ii S.δ - مستمرة عند xo اذا وفقط اذا عندما الشبكة –S.δ{fa : a A} تقترب الىxo فان الشبكة{g(fa) : a A } – S.δ تقترب الى (g(xo .
(iii θ*.δ - مستمرة عند xo اذا وفقط اذا عندما الشبكة –θ*.δ{fa : a A} تقترب الىxo فان الشبكة{g(fa) : a A } – θ*.δ تقترب الى (g(xo .
iv ) S*.δ - مستمرة عند xo اذا وفقط اذا عندما الشبكة –S*.δ{fa : a A} تقترب الىxo فان الشبكة{g(fa) : a A } – S*.δ تقترب الى (g(xo
(v δ*.δ - مستمرة عند xo اذا وفقط اذا عندما الشبكة –δ*.δ{fa : a A} تقترب الىxo فان الشبكة{g(fa) : a A } – δ*.δ تقترب الى (g( xo. (vi S**.δ - مستمرة عند xo اذا وفقط اذا عندما الشبكة –S*.δ{fa : a A} تقترب الxo فان الشبكة{g(fa) : a A } – S**.δ تقترب الى (g(xo .
2. ليكن (X,τ)فضاء تبولوجي ولتكن X Y،اذا كانت xo نقطة من نقاط X فان xo تكون :-
i) نقطة –δ ملتصقة في Y ، اذا وفقط اذا توجد شبكة في –δ Y متقاربة الى xo.
ii) نقطة –S.δ ملتصقة فيY، اذا وفقط اذا توجد شبكة في –S.δY متقاربة الى . xo
iii) نقطة –θ*.δ ملتصقة في Y ، اذا وفقط اذا توجد شبكة في –θ*.δY متقاربة الى . xo
iv) نقطة –S*.δ ملتصقة في Y ، اذا وفقط اذا توجد شبكة في –S*.δY متقاربة الى . xo
(v نقطة –δ*.δ ملتصقة في Y ، اذا وفقط اذا توجد شبكة في –δ*.δY متقاربة الى . xo
(vi نقطة –S**.δ ملتصقة في Y ، اذا وفقط اذا توجد شبكة في –S**.δY متقاربة الى .xo
3. لتكن(X,τ) فضاء تبولوجي ولتكن X Y . فان Y تتألف من كل :
i) نقاطها –δ التراكمية اذا وفقط اذا لاتوجد شبكة في δ Y – تقترب الى نقطة في X/Y .
ii) نقاطها –S.δ التراكمية ل Y اذا وفقط اذا لاتوجد شبكة في –S.δY تقترب الى نقطة في X/Y .
iii) نقاطها –θ*.δ التراكمية ل Y اذا وفقط اذا لاتوجد شبكة في –θ*.δ Y تقترب الى نقطة في X/Y .
(iv نقاطها –S*.δ التراكمية ل Y اذا وفقط اذا لاتوجد شبكة في S*.δ Y – تقترب الى نقطة في X/Y .
v) نقاطها –δ*.δ التراكمية ل Y اذا وفقط اذا لاتوجد شبكة في δ*.δ Y – تقترب الى نقطة في X/Y .
vi) نقاطها –S**.δ التراكمية ل Y اذا وفقط اذا لاتوجد شبكة في S**.δ Y – تقترب الى نقطة في X/Y .
4. اذا كان (X,τ)فضاء تبولوجي :
i) δ – هاوزدورف فان كل شبكة –δ متقاربة لها نقطةδ –تجمع وحيدة وهي نقطة– δ نهاية وحيدة للشبكة.
(ii S.δ – هاوزدورف فان كل شبكة –S.δ متقاربة لها نقطةS.δ – تجمع وحيدة وهي نقطة–S.δ نهاية وحيدة للشبكة.
iii) θ*.δ – هاوزدورف فان كل شبكة –θ*.δ متقاربة لها نقطةδ θ*. – تجمع وحيدة وهي نقطة– θ*.δ نهاية وحبدة للشبكة.
iv) S*.δ – هاوزدورف فان كل شبكة –S*.δ متقاربة لها نقطةS*.δ – تجمع وحيدة وهي نقطة–S*.δ نهاية وحبدة للشبكة.
v) δ*.δ – هاوزدورف فان كل شبكة –δ*.δ متقاربة لها نقطةδ*.δ – تجمع وحيدة وهي نقطة–δ*.δ نهاية وحبدة للشبكة.
vi) S**.δ – هاوزدورف فان كل شبكة –S**.δ متقاربة لها نقطة –S**.δ تجمع وحيدة وهي نقطة–S**.δ نهاية وحبدة للشبكة.
.5 ليكن (X,τ) فضاء تبولوجي. النقطة xo في X تكون :
(i نقطة – δ تجمع للشبكة (f , X , A , ≥ ) اذا وفقط اذا توجد هنالك شبكة فرعية
( g , f , B , ≥*) تكون δ– تقترب الى xo .
(ii نقطة – S.δ تجمع للشبكة (f , X , A , ≥ ) اذا وفقط اذا توجد هنالك شبكة فرعية
( g , f , B , ≥*) تكون S.δ– تقترب الى xo .
(iii نقطة – θ*.δ تجمع للشبكة (f , X , A , ≥ ) اذا وفقط اذا توجد هنالك شبكة فرعية
( g , f , B , ≥*) تكون θ*.δ– تقترب الى xo .
(iv نقطة –S*. δ تجمع للشبكة (f , X , A , ≥ ) اذا وفقط اذا توجد هنالك شبكة فرعية ( g , f , B , ≥*) تكون ٍS*.δ– تقترب الى xo .
(v نقطة – δ*.δ تجمع للشبكة (f , X , A , ≥ ) اذا وفقط اذا توجد هنالك شبكة فرعية
( g , f , B , ≥*) تكون δ*.δ– تقترب الى xo .
(vi نقطة – S**.δ تجمع للشبكة (f , X , A , ≥ ) اذا وفقط اذا توجد هنالك شبكة فرعية ( g , f , B , ≥*) تكون S**.δ– تقترب الى xo .
6. الفضاء التبولوجي (X,τ) يكون :
i) δ– متراص اذا كانت كل شبكة في X لها نقطة δ– تجمع.
ii) S.δ– متراص اذا كانت كل شبكة في X لها نقطة S.δ– تجمع .
iii) θ*.δ– متراص اذا كانت كل شبكة في X لها نقطة θ*.δ– تجمع.
iv) δ*.δ– متراص اذا كانت كل شبكة في X لها نقطةδ*.δ – تجمع .