الهدف من هذا العمل هو تعميم مفهوم التراص الفوقي في الفضاءات ثنائية وثلاثية التبولوجيا
أدناه بعض النتائج الرئيسية التي تم الحصول عليها:
1. كل الفضاءات ثنائية التبولوجيا (X,τ,μ) من النوع m(τ-μ) المرصوصة فوقيا بالنسبة إلى μ تكون m(τ-μ) شبه المرصوصة فوقيا بالنسبة إلى μ .
2. كل الفضاءات ثنائية تبولوجيا (X,τ,μ) من النوع m(τ-μ) شبه المرصوصة فوقيا بالنسبة إلى μ تكون-a- m(τ-μ) المرصوصة فوقيا بالنسبة إلى μ .
3.اذا كان (X,τ,μ) فضاءاً ثنائي التبولوجي من النوع m(τ-μ) المرصوص فوقيا بالنسبة إلى μ وثنائي الهاوزدورف بحيث ان كل مجموعة مغلقة بالنسبة الى τ في (X,τ,μ) لها اساس اقل من او يساوي mفان (X,τ,μ) يكون فضاءاً من النوع m(τ,μ,μ)-منتظما.
4. اذا كان (X,τ,μ) فضاءاً ثنائي التبولوجي من النوع m(τ-μ) المرصوص فوقيا بالنسبة إلى μ وثنائي الهاوزدورف بحيث ان كل مجموعة مغلقة بالنسبة الى τ في (X,τ,μ) لها اساس اقل من او يساوي mفان (X,τ,μ) يكون فضاءاً من النوع m(τ,μ,μ)-متسقا.
5.ليكن (X,τ,μ)فضاء ثنائي التبولوجيا و ليكن (Y,τY,μY) فضاءاً جزئيا من (X,τ,μ) مغلقاً بالنسبة الى τ . اذا كان(X,τ,μ) من النوع m(τ-μ) المرصوص فوقيا بالنسبة إلى μ ,فان (Y,τY,μY) يكون من النوع m(τY-μY) المرصوص فوقيا بالنسبة إلى μ.
6. ليكن (X,τ,μ)فضاء ثنائي التبولوجيا وليكن تجزئة للمجموعة X يكون الفضاء (X,τ,μ) من النوع m(τ-μ) المرصوص فوقيا بالنسبة إلى μ اذا و فقط اذا كان (Xi,τi,μi) من النوع m(τi-μi) المرصوص فوقيا بالنسبة إلى μiلكل i.
7. ليكن (X,τ,μ) فضاءاً ثنائي التبولوجيا من النوع m(τ-μ) المرصوص فوقيا بالنسبة إلى μ و ليكن (Y,τY,μY) فضاء جزئيا من (X,τ,μ).اذا كان Y مجموعة من النوع
Fσ بالنسبة الى τفان (Y,τY,μY) يكون شبه مرصوص فوقيا بالنسبة الى μY.
8 . ليكن (X,τ,μ) فضاءاً ثنائي التبولوجيا وليكن (Y,τY,μY) فضاءاً جزئيا من (X,τ,μ) مغلقاً بالنسبة الى τ .اذا كان(X,τ,μ) من النوع m(τ-μ) - - المرصوص فوقيا بالنسبة إلى μ فان (Y,τY,μY) يكون من النوع m(τ-μ) - - المرصوص فوقيا بالنسبة إلى μY .
9 . ليكن (X,τ,μ) فضاءاً ثنائي التبولوجيا وليكن تجزئة للمجموعة X يكون الفضاء (X,τ,μ) من النوع m(τ-μ) - - المرصوص فوقيا بالنسبة إلى μ اذا و فقط اذا كان (Xi,τi,μi) من النوع m(τi-μi) - -المرصوص فوقيا بالنسبة إلى μiلكل i.
10. اذا كانت كل مجموعة مفتوحة بالنسبة الى τ في الفضاء ثنائي التبولوجي من النوع m(τ-μ)- المرصوص فوقيا بالنسبة إلى μ وهي من النوع m(τ-μ)- المرصوصة فوقيا بالنسبة إلى μ فان جميع الفضاءات الجزئية (Y,τY,μY) تكون من النوع m(τY-μY) مرصوصة فوقيا بالنسبة إلى μY.
11. اذا كانت f تطبيق شامل من النوع (μ,τ`)- مغلقاً , (μ,μ`)- مستمراً من الفضاء ثنائي التبولوجي (X,τ,μ) الى الفضاء ثنائي التبولوجي (Y,τ`, μ`) من النوع (m(τ`- μ` المرصوص فوقيا بالنسبة الى μ` بحيث ان من النوع
m(τ-μ)- مرصوصة فان (X,τ,μ) يكون من النوع (m(τ- μ المرصوص فوقيا بالنسبة الى μ .
12. اذا كانت f تطبيق شامل من النوع (μ,τ`)- مغلقاً , (μ,μ`)- مستمراً من الفضاء ثنائي التبولوجي (X,τ,μ) الى الفضاء ثنائي التبولوجي (Y,τ`, μ`) من النوع (m(τ`- μ` شبه المرصوص فوقيا بالنسبة الى μ` بحيث ان من النوع
m(τ-μ)- مرصوصة فان (X,τ,μ) يكون من النوع (m(τ- μ شبه المرصوص فوقيا بالنسبة الى μ .
13.ليكن(X,τ,μ) ثنائي هاوزدورف فالعبارات التالية متكافئة.
(i) (X,τ,μ) RR- ثنائي التراص الفوقي.
(ii) (X,τ,μ) β- ثنائي الانتظام و α – متراص فوقيا.
(iii) (X,τ,μ) β- ثنائي الانتظام و β- ثنائي – متراص فوقيا.
(iv) (X,τ,μ) β- ثنائي الانتظام وثنائي - α – متراص فوقيا.
(v) (X,τ,μ) β- ثنائي الانتظام وثنائي – متراص فوقيا.
14. اذا كان (X,τ,μ,ρ) فضاءاً ثلاثي التبولوجي من النوع m(τ-μ) المرصوص فوقيا بالنسبة إلى ρ وكان (X,τ,ρ) ثنائي الهاوزدورف بحيث ان كل مجموعة مغلقة بالنسبة الى τ في (X,τ,μ,ρ) لها اساس اقل من او يساوي mفان (X,τ,μ,ρ) يكون فضاءاً من النوع m(τ,ρ,μ)-منتظما.
15. اذا كان (X,τ,μ,ρ) فضاءاً ثلاثي التبولوجي من النوع m(τ-μ) المرصوص فوقيا بالنسبة إلى ρ وكان (X,τ,ρ) ثنائي الهاوزدورف بحيث ان كل مجموعة مغلقة بالنسبة الى τ في (X,τ,μ,ρ) لها اساس اقل من او يساوي mفان (X,τ,μ,ρ) يكون فضاءاً من النوع m(τ,μ, ρ)-متسقا.
16. ليكن (X,τ,μ,ρ)فضاءاً ثلاثي التبولوجيا وليكن (Y,τY,μY,ρY) فضاءاً جزئيا من (X,τ,μ,ρ) مغلقاً بالنسبة الى τ . اذا كان (X,τ,μ,ρ) من النوع m(τ-μ) المرصوص فوقيا بالنسبة إلى ρ ,فان (Y,τY,μY,ρY) يكون من النوع m(τY-μY) المرصوص فوقيا بالنسبة إلى ρY .
17. ليكن (X,τ,μ,ρ) فضاء ثلاثي التبولوجيا وليكن تجزئة للمجموعة X يكون الفضاء (X,τ,μ,ρ) من النوع m(τ-μ) المرصوص فوقيا بالنسبة إلى ρ اذا و فقط اذا كان (Xi,τi,μi,ρi) من النوع m(τi-μi) المرصوص فوقيا بالنسبة إلى ρiلكل i.
18. اذا كانت كل مجموعة مفتوحة بالنسبة الى τ في الفضاء ثلاثي التبولوجي من النوع m(τ-μ)- المرصوص فوقيا بالنسبة إلى ρ وهي من النوع m(τ-μ)- المرصوصة فوقيا بالنسبة إلى ρ فان جميع الفضاءات الجزئية (Y,τY,μY,ρY) تكون من النوع m(τY-μY) مرصوصة فوقيا بالنسبة إلى ρY.
19. ليكن (X,τ,μ,ρ) فضاءاً ثلاثي التبولوجيا من النوع m(τ-μ) المرصوص فوقيا بالنسبة إلى ρ و ليكن (Y,τY,μY,ρY) فضاء جزئيا من (X,τ,μ,ρ) اذا كان Y مجموعة من النوعFσ بالنسبة الى τفان (Y,τY,μY,ρY) يكون شبه مرصوص فوقيا بالنسبة الى
ρY.
20.اذا كانت f تطبيق شامل من النوع (μ,τ`)- مغلقاً , (μ,μ`)- مستمراً و(ρ`,ρ) مستمراً من الفضاء ثلاثي التبولوجي (X,τ,μ,ρ) الى الفضاء ثلاثي التبولوجي (Y,τ`, μ`, ρ`) من النوع (m(τ`- μ` المرصوص فوقيا بالنسبة الىρ` بحيث ان من النوع m(τ-μ)- مرصوصة فان (X,τ,μ,ρ) يكون
من النوع (m(τ- μ المرصوص فوقيا بالنسبة الىρ.
21. اذا كانت f تطبيق شامل من النوع (μ,τ`)- مغلقاً , (μ,μ`)- مستمراً و(ρ`,ρ) مستمراً من الفضاء ثلاثي التبولوجي (X,τ,μ,ρ) الى الفضاء ثلاثي التبولوجي (Y,τ`, μ`, ρ`) من النوع (m(τ`- μ` شبه المرصوص فوقيا بالنسبة الىρ` بحيث ان من النوع m(τ-μ)- مرصوصة فان (X,τ,μ,ρ) يكون
من النوع (m(τ- μ شبه المرصوص فوقيا بالنسبة الىρ.